Identidades Trigonométricas

Identidades Trigonométricas

DEFINICIÓN
Una identidad trigonométrica es una igualdad en la que intervienen funciones trigonométricas y que se verifican para todo valor permitido de la variable.


IDENTIDADES PRINCIPALES



IDENTIDADES RECÍPROCAS
Senθ Cscθ = 1
 Senθ = 1/Cscθ

Cosθ Secθ = 1
Cosθ = 1/Secθ

Tgθ Ctgθ = 1
Tgθ = 1/Ctgθ



IDENTIDADES POR COCIENTE



Tgθ = Senθ
         Cosθ

Ctgθ = Cosθ
            Senθ



IDENTIDADES PITAGÓRICAS



Sen2 θ+ Cos2 θ= 1

1 + Tg2 θ= Sec2 θ

1 + Ctg2 θ= Csc2 θ



EJEMPLOS:



1° De aplicación de identidades recíprocas:

• Sen15° Csc15° = 1

• Cos70° Sec70° = 1

• 1/Sen28° = Csc28°

• 1/Cos5x = Sec5x

• Tg50° Ctg50° = 1

• Sen2x Csc2x = 1

• Tg3α Ctg3α = 1

• 1/sen2 x = Csc2 x

• 1/Tg2 2x = Ctg2 2x



2° De aplicación de identidades por cociente:

• Sen13°/Cos13° = Tg13°

• Cos35°/Sen35° = Ctg35°

• Sen227°/Cos227° = Tg227°

• Ctg35° = Cos35°/Sen35°

• Sen9x/Cos9x = Tg9x

• Cos45x/Sen45x = Ctg45x





3° De aplicación de identidades pitagóricas:

• Sen2 70° + Cos2 70° = 1

• 1 + Tg2 55° = Sec2 55°

• 1 + Ctg2 3° = Csc2 3°

• Sen2 5x + Cos2 5x = 1

• 1 + Tg2 9x = Sec2 9x

• 1 + Ctg2 5x = Csc2 5x



OBSERVACIÓN:

1° La forma de aplicar las identidades trigonométricas es muy variada, es fundamental que el estudiante comprenda que de las ocho identidades expuestas se deducen otras igualdades que lógicamente también son identidades. Como por EJEMPLO:



De la igualdad: Sen2 x + Cos2 x = 1 se deduce:

1– Sen2 x = Cos2 x ó 1– Cos2 x = Sen2 x

De igual manera se deducen:



Sec2θ– Tg2 θ= 1 Secx/ Cscx = tgx

Csc2θ– Ctg2 θ= 1 Cscx/ Secx = Ctgx



2° No olvidar que:



Versθ = 1 – Cosθ Covθ = 1 – Senθ

Ex Secθ = Secθ – 1



3° Cuando se aplican las identidades trigonométricas se emplean con mucha frecuencia algunas identidades algebraicas; por ejemplo:

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Ejemplo:

(Sen x + Cos)2 = 1 + 2SenxCosx

• (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b)

• (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a-b)

• a2 – b2 = (a-b)(a+b)

Ejemplo:

(1-Senx)(1+Senx) = 1 – Sen2 x = Cos2 x

(Secx–Tgx)(Secx+Tgx) = Sec2x-Tg2x = 1



a3 + b3 = (a+b)(a2 – ab + b2

a3 – b3 = (a-b)(a2 +ab + b2)

(a + b + c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc



IDENTIDADES AUXILIARES



Se denomina de esta manera a algunas identidades trigonométricas que son de frecuente aplicación y que su uso permite una solución más rápida del problema que se está resolviendo.

Dentro del grupo de identidades auxiliares se considera las siguientes:



1° Sen4 x + Cos4 x = 1 – 2Sen2 x Cos2 x

2° Sen6 x + Cos 6 x = 1 – 3Sen2 x Cos2 x

3° Sec2 x + Csc2 x = Sec2 x Csc2 x

4° Tg x + Ctg x = Sec x Csc x

5° (1+Senx+Cosx)2 = 2(1+Senx)(1+Cosx)



EJERCICIOS DE APLICACIÓN



Esta serie de ejercicios permite al estudiante retener las identidades conocidas para luego entrar a un estudio posterior.

Estos ejercicios, sirven para hallar las identidades derivadas. Ejemplos:

1. Sen2 A = 1 – Cos2 A

2. 1/SecB = CosB

3. Sec2C – Tg2C = 1

A continuación el estudiante deberá completar las siguientes identidades:

4. = 1 / SenA



5. TagB =



6. Csc2C - = 1



7. 1 – Sen2A =



8. Sen6 x + = 1 –

9. Sen4 x + = 1 –



10. tg2B – sec2 B =



DEMOSTRAR:

11. Csc x Tg x = Sec x

12. (1 + Ctg2 x) Cos2 x = Ctg2 x

13. Sec x Csc x = Tg x + Ctg x

14. Cos x = Ctgx / Cscx

15. (Senx Cosx)2 = 1 + 2Senx Cosx

16. Reducir:

E = Sen3x Csc x + Cos3 x Sec x

a) 1 b) 2 c) Senx

d) Cosx e) Senx+Cosx



17. Simplificar:

E = 1 – cos2 x + Cos x Tg x

Sen x



a) 0 b) 1 c) Cosx

d) Senx e) 2Senx



18. Simplificar:

E = Cos x ( 1 – Sec x) + 1

Sen x



a) 1) b) Senx c) Cosx

d) Tgx e) Ctgx



19. Simplificar:

E = 1 – Tg2 x + 1 + Ctg2 x

Sec2 x Csc2 x



a) 2 b) Senx c) Cosx

d) 2Senx e) 2Cosx



20. Reducir:

E = Sen2 x + Cos2 x + Tg2 x

a) 1 b) 2 c) Ctg2x d) sec2x e) csc2x